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傑卡德相似係數（Jaccard Similarity Coefficient）

• 傑卡德相似係數：兩個集合$A$和$B$的交集元素在$A$、$B$的聯集中所佔的比例，稱為兩個集合的傑卡德相似係數，用符號$J(A,B)$表示

  $J(A,B)=\dfrac{|A\cap B|}{|A\cup B|}$

• 傑卡德距離（Jaccard Distance）：與傑卡德相似係數相反的的概念，用兩個集合中不同的元素的佔比來衡量兩個集合的區分度

  $J_\delta(A,B)=1-J(A,B)=\dfrac{|A\cup B|-|A\cap B|}{|A\cup B|}$

• 傑卡德相似係數與傑卡德距離的應用：

  可將傑卡德相似係數用在衡量樣本的相似度上

  樣本$A$與樣本$B$是兩個n維向量，假設所有維度的設定值都是0或者1。舉例來說我們有兩個4維向量$A(0111)$和$B(1001)$，我們將這兩向量看成集合，1表示集合包含該元素，0則表示不包含。

  • 用以下符號代表情況：
    p：樣本A與B都是1的維度的個數
    q：樣本A是1、樣本B是0的維度的個數
    r：樣本A是0、樣本B是1的維度的個數
    s：樣本A與B都是0的維度的個數

  那麼樣本A和B的傑卡德相似係數可以表示為：

  $J=\dfrac{p}{p+q+r}$

• 用python實現

import numpy as np


def get_dist(a, b):
    up = np.double(np.bitwise_and((a != b), np.bitwise_or(a != 0, b != 0)).sum())
    print(up)
    down = np.double(np.bitwise_or(a != 0, b != 0).sum())
    dist = (up / down)
    return dist


def get_coe(a, b):
    p = np.double(np.bitwise_and(a, b).sum())
    q = np.double(np.bitwise_and(a==1, b==0).sum())
    r = np.double(np.bitwise_and(a==0, b==1).sum())
    coe = p / (p + q + r)
    return coe


if __name__ == '__main__':
    x = np.random.random(10) > 0.5
    y = np.random.random(10) > 0.5
    print('傑卡德相似係數：', get_coe(x, y))
    print('傑卡德距離：', get_dist(x, y))